By Hans Kurzweil

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7 Sei F = Z2 . Die irreduziblen Polynome aus F[X] vom Grad ≤ 3 sind X , 1 + X , 1 + X + X2 , 1 + X + X3 , 1 + X2 + X3 und die vom Grad 4 sind 1 + X + X4 , 1 + X3 + X4 , 1 + X + X2 + X3 + X4 . Beweis: Polynome vom Grad 1 sind nach Definition irreduzibel. 5 irreduzibel. 3. 5 zeigt, dass die Liste vollst¨andig ist. Wir kommen nun zum Grad 4 . Sei etwa N = 1 + X + X4 , wir zeigen, dass N irreduzibel ist. 1 keinen Teiler vom Grad 1, denn A(0) = 1 = A(1). B. mit dem Kalk¨ ul der Funktionentheorie bewiesen werden 53 Teiler P von N mit grad P = 2, der keine Nullstelle in F besitzt.

Fu¨r a ∈ G sei a = {ai | i ∈ Z} 61 die Menge der Potenzen von a. Ist G additiv geschrieben, so ist a = {ia | i ∈ Z}. Im Fall G = Z(+) besteht a aus den Vielfachen i·a der Zahl a , hier bevorzogen wir die Schreibweise von Kap. 1 a = aZ := {a · i | i ∈ Z} . 4 Sei a in G. Dann ist a Untergruppe von G. 3. Die Gruppe G heißt zyklische Gruppe , wenn ein a ∈ G existiert, so dass G = a . B. auch a−1 primitives Element. Die Gruppen G = Z(+) und G = Zn (+) sind zyklische Gruppen, denn jedes Element in ihnen ist ein Vielfaches von a = 1.

Dann existiert ein P ∈ F[X] , so dass A = (X − λ1 ) · · · (X − λm ) · P . Das Polynom (X − λ1 ) · (X − λ2 ) · · · (X − λm ) hat Grad m. 3 KOROLLAR Ein Polynom vom Grad n, n ≥ 0, hat h¨ochstens n Nullstellen. Ein Polynom vom Grad 1, also ein lineares Polynom A = aX + b , a, b ∈ F, a = 0, hat immer die Nullstelle λ = − ab . 4 Sei A ∈ F[X] ein Polynom vom Grad ≥ 2 . Besitzt N in F eine Nullstelle, so ist N nicht irreduzibel in F[X] . 5 Sei N ∈ F[X], grad N ∈ {2, 3}. Besitzt N keine Nullstelle in F, so ist N irreduzibel.

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Algebra I.K. by Hans Kurzweil


by Donald
4.3

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